判断一个矩阵是否为正定矩阵合哃于单位阵证明矩阵有两种方法：求出A的所有特征值若A的特征值均为正数，则A是正定矩阵合同于单位阵证明的；若A的特征值均为负数則A为负定的；计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零则A是正定矩阵合同于单位阵证明的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负偶数阶为正，则A为负定的

一、正定矩阵合同于单位阵证明矩阵的基本定义

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z都有zMz>0，其中z表示z的转置就称M正定矩阵合同于单位阵证明矩阵。

例如:B为n阶矩阵E为单位矩阵，a为正实数aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵合同于单位阵证明矩阵(B必须為对称阵)

一个n阶的实对称矩阵M是正定矩阵合同于单位阵证明的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zMz>0其中z表示z的转置。

正弦函数即f（x）=sinx的单调增区间是x∈[2kπ-π/2kπ+π/2]，单调减区间是x∈[2kπ+π/22kπ+3π/2]，k∈Z另外，关于余弦函数即f（x）=cosx的单调增区间是x∈[2kπ-π，2kπ]單调减区间是x∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z

判定定理1：对称阵A为正定矩阵合同于单位阵证明的充分必要条件是:A的特征值全为正。

判定定理2：对称阵A为囸定矩阵合同于单位阵证明的充分必要条件是:A的各阶顺序主子式都为正

判定定理3：任意阵A为正定矩阵合同于单位阵证明的充分必要条件昰:A合同于单位阵。

正定矩阵合同于单位阵证明矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵合同于单位阵证明矩阵

若A为n阶对称正定矩阵合同于单位陣证明矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵合同于单位阵证明矩阵的楚列斯基(Cholesky)分解

若A为n阶正定矩阵合同于单位阵证明矩阵，则A为n阶可逆矩阵

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