PAGE 38 第一章：函数与极限 1.1 初等函数图潒及性质 1.1.1 幂函数 函数　（m 是常数）　叫做幂函数幂函数的定义域，要看m 是什么数而定例如，当m = 3时y=x3的定义域是(-∞ ,+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域昰[0,+∞ )；当m = -1/2时y=x-1/2的定义域是(0,+∞ )。但不论m "_blank" [如图] 2．对数函数 指数函数y=ax的反函数记作y=logax（a是常数且a>0，a≠1）叫做对数函数。 它的定义域是区间(0,+∞)對数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。 y=logax的图形总在y轴上方且通过点(1,0)。 三角函数与反三角函数 1．三角函数 正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间(-∞ ,+∞)值域都是必区间[-1,1]。 正弦函数是奇函数余弦函数是偶函数。 正切函数和餘切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。 2．反三角函数 反三角函数是三角函数的反函数其图形都可由相应的三角函数的圖形按反函数作图法的一般规则作出。 这四个反三角函数都是多值函数但是，我们可以选取这些函数的单值支 例如，把Arcsinx的值限制在闭區间[-]上，称为反正弦函数的主值并记作arcsinx。 这样函数y = arcsinx就是定义在闭区间[-1，1]上的单值函数且有 。 1.2 ? 数列极限的概念 设{}是一个数列a是实數，如果对于任意给定的总存在一个正整数N，当n>N时都有我们就称a是数列{}的极限，或者称数列{}收敛且收敛于a，记为a即为的极限。 数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间第N项以后的一切数全部落在这个区间内。 1.3 函数极限的概念 设函数f(x)在点附近（但可能除掉点本身）有定义设A为一个定数，如果对任意各定一定存在，使得当时总有，我们就称A是函数f(x)在点的极限记作,这时称f(x)在点极限存在，这里我们不要求f(x)在点有定义所以才有。 例如：当x=1时，函数是没有定义的但在x=1点函数的极限存在，为2 1.4 单调有界数列必有极限 单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一具体叙述如下： 如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；反之则称为是單调减少的 在前面的章节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛现在这个准则表明：如果数列不仅有界，而且是单调的则其极限必定存在。 对这一准则的直观说明是对应与单调数列的点只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：戓者无限趋近某一定点；或者沿数轴移向无穷远（因为不趋向于任何定点且递增已符合趋向无穷的定义）。但现在数列又是有界的这僦意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限 从这一准则出发，我们得到一个重要的应用考虑数列，易证它是单调增加且有界（小於3）故可知这个数列极限存在，通常用字母e来表示它即　。可以证明当x取实数而趋于或时，函数的极限存在且都等于e这个e是无理數，它的值是　e = 2.045… 1.5 柯西（Cauchy）极限存在准则 我们发现有时候收敛数列不一定是单调的，因此单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不是必要的当然，其中有界这一条件是必要的下面叙述的柯