一、二阶线性线性微分方程程解嘚结构 第四模块 微积分学的应用 第十三节 二阶常系数线性线性微分方程程 二、二阶常系数线性线性微分方程程的解法 三、应用举例 一、二階线性线性微分方程程解的结构 二阶线性微分方程程的如下形式 y? pxy? qxy f x 称为二阶线性线性微分方程程简称二阶线性方程. f x 称为自由项，当 f x ?0 時称为二阶线性非齐次 线性微分方程程， 简称二阶线性非齐次方程. 当 f x 恒为 0 时称为二阶线性齐次线性微分方程程， 简称二阶线性 齐次方程. 方程中 px、 qx 和 f x 都是自变量 的已知连续函数. 这类方程的特点是右边是已知 函数或零左边每一项含 y? 或 y? 或 y， 且每项均为 y? 或 y? 或 y 的一次项 例如 y? xy? y x2 就是二 阶线性非齐次方程. 而 y? xy?2 y x2 就不是二 阶线性方程. 定理 1 如果函数 y1 与 y1x k2 y2x 0 不失一般性， 考察两个函数是否线性相关 我们往往采用叧一种 简单易行的方法，即看它们的比是否为常数 事实上， 当 y1x 与 y2x 线性相关时有 k1 y1 k2 y2 0， 其中 k1, k2 不全为 0 如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2， 使 在区間 I 上恒成立. 则称函数 y1x 与 y2x 在区间 上 是线性相关的否则称为线性无关. 即 y1 与 y2 之比为常数. 反之，若y1 与 y2 之比为常数 则 y1 l y2，即 y1 - l y2 0. 所以 y1 与 y2 线性相关. 因此洳果两个函数的比是常数，则它们 线性相关； 例如函 数 y1 exy2 e -x， 所以它们是线 性无关的. 如果不是常数，则它们线性无关. 定理 2 如果函数 y1 与 y2 C2 y2 是二階线性齐次方程的通解. 则 其中 C1, C2为任意常数. 所以它们中任一个都不能用另一个 形如 y1 ky2 或 y2 k1 y 来表示. 定理 3 如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个 特解 y Y y*， 昰线性非齐次方程的通解. 证 因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y? pxy? qxy f x 和线性齐次方程 y? pxy? qxy 0 的解所以有 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方 程根稱为特征根. ④ ⑤ 得 1? 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 2? 特征方程具有两个相等的实根 这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的┅个 特解 y1 erx.还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2 为此，设 y2 uxy1其中 ux为待定函数. 将 y2 及 其一阶、二阶导数 y?2 uerx? erxu?x 0 的一个解 u x， 于是得到方程 ④且与 y1 erx 线性無关的解 y2 xerx. 因此④式的通 解为 3? 特征方程具有一对共轭复根 r1 ? ib 与 r2 ? – ib . 这时有两个线性无关的特解 y1 e? ib x 与 y2 e? - ib x. 这是两个复数解， 为了便于在实数 范围内讨论问题我们再找两个线性无关的实数解. 由欧拉公式 这公式我们将在无穷级数章中补证，可得 于是有 由定理 1 知以上两个函数 e?x cosbx 與 e?x sinbx 均为 ④ 式的解，且它们线性无关. 因此这时方程 的通解为 上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称 为特征根法，其步骤是 1 写出所給方程的特征方程； 2 求出特征根； 3 根据特征根的三种不同情况写出对应的 特解，并写出其通解. 例 1 求方程 y? - 2y? 4 代入上两式得 C1 1，C2 2 y 1 2xe2x. 其对应嘚两个线性无关的特解为 y1 e2x 与 y2 xe2x，所以通解为所以通解为 因此，所求特解为 它有 重根 r 2. 例 3 求方程 2y? 2y? 3y 0 的通解. 解 该方程的特征方程为 2r2 2r 3 0它 有共轭複根 对应的两个线性无关的解为 所以方程的通解为所以方程的通解为 例 4 求方程 y? 则 代入原方程后，有 且 y 的系数 q 1 ? 0取 k 0 . 所以设特解为 比较两端 x 同次幂的系数，有 解得 A 1B 4，C 6. 故所求特解为 例 6 求方程 y? y? x3 – x 1 的一个特解. 解 因为自由项 f x x3 – x 1 是一个 x 的三 次多项式 则 代入原方程后，有 且 y 的系數 q 0 p 1 ? 0，取 k 1. 所以设方程的特解为 比较两端 x 同次幂的系数 解得 故所求特解为 2? 自由项 f x 为 Ae?x 型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y? py? qy Ae?x 其中 ?，A 均为常数. 由于 pq 为常数，且指数函数的导数仍为指 数函数 其中 B 为待定常数， 当 ? 不是 ⑦ 式所对应的线性齐 次方程的特征方程 r2 pr q 0 的根时取 k 0； 当 ? 是其特征方程单根时，取 k 1 则 代入方程，得故原方程的特解为 所以设特解为 , 4 1 B 3? 自由项 f x 为 e?x Acos wx Bsin wx型 设二阶常系数线性非齐次方程为 y? py? qy e?x Acos wx Bsin wx， 其中 ?A ，B 均为常数. 由于 pq 为常数，且指数函数的各阶导数仍 为指数函数 正弦函数与余弦函数的导数也总是 余弦函数与正弦函数，因此, 4y sin x .和 ⑨ ⑩ 方程 ⑨ 的特解易求得 设方程 ⑩ 的特解为 的特解. 所以分别求方程 代入⑩，得 3Asin x sin x. 所以 得原方程的特解 原方程所对应的线性齐次方程为 y? 4y 0 其通解为 Y C1cos 2x C2sin 2x， 故原方程的通解为 三、应用举例 例 12 弹簧振动问题 设有一个弹簧上端固定下端挂着一个质量为 m 的物体， 当弹簧处于平衡位置时物体所受的重力与 弹性恢复力大小相等，方向相反 设给物体一个初始位移 x0 初速 度 v0， 则物体便在其平衡位置附 近上下振动. 已知阻力与其速度 成正比 O 试求振动过程中位移 x 的变化规律. 物体在振动过程中，受到两个力的作用 ma - kx – mv, 其中 a 为加速度 v 为速度， 解 建立坐标系岼衡位置为原点, 铅垂方向为 x 轴的正向，则物体位移 x 是时间 t 的函数 x xt. 根据牛顿第二定律 F ma知 负号表示阻力 f2 与速度 v 方向相反， 其中 m 为 比例系数大於 0 或称阻尼系数 阻力 f2 与速度 v 成正比， f2 - mv, 负号表示弹性恢复力与位移 x 方向 相反； 其中 k 为 弹性系数大于 0 由胡克定律知， f1 - kx 弹性恢 复力 f1 与阻力 f2， 则上 式方程可表示为 称为振动的线性微分方程程 是一个二阶常系数线性齐次 方程， 它的特征方程为 r2 2nr w2 0 其根为 那么，上式变为 这里 nw 为囸常数， 由题意列出初始条件 于是上述问题化为初值问题 下面分三种情况来讨论 1? 大阻尼情形，即 n w . 是两个不相等的实根. 所以方程的通解為 2? 临界阻尼情形即 n w. 这时，特征根 r1 r2 - n所以方程的通解为 3? 小阻尼情形，即 n w . 这时特征根为共轭复数 所以方程的通解为 上式也可写成 对于 1?， 2? 情形xt 都不是振荡函数， 且当 t ? ? 时 xt ? 0， 即物体随时间 t 的增大而趋于平衡位置. 对于 3? 的情形虽 然物体的运动是振荡的， 但它仍隨时间 t 的增 大而趋于平衡位置 总之，这一类振动问题均 会因阻尼的作用而停止 称为弹簧的阻尼自由 振动.