说不出有多爱_百度百科
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说不出有多爱
《说不出有多爱》是孙维君作词，周传雄作曲，周传雄演唱的一首歌曲，收录在专辑《说不出有多爱》中。这首歌是一首流行风格的歌曲。歌曲展现了周传雄高超的唱功。
说不出有多爱歌曲歌词
想要说的话 其实不多 只要你懂
总是等待着你向我走来
我的心 随你摇摆
我要怎样来掩饰激动 才能让脸上看不出来
没有你的日子很苍白
孤独心情 夜夜徘徊
说不出有多爱 靠近我你会明白
一双眼为你开 心情也汹涌澎湃
说不出有多爱 像沙滩亲吻着海
是真心 是等待
天长地久是我期盼的未来
说不出有多爱专辑简介
发行人：，制作人：小刚。
(注：以下内容转自&仲夏夜的萤火虫&)
自“小刚”到“周传雄”，这15年来，从《没有你的日子》到《男人.海洋》共出了13张专辑+一张合辑《无名小卒》，就是只有《我的心太乱》这张专辑，小刚是没有戴眼镜的，所有专辑封面MV都是直接〔面对面〕再者，此时的小刚已开始留起鬓角了，已有周传雄的模型出现了，他完全释放了自己的情感，完全将自己最脆弱的心绪表现于音乐歌曲中，所以他也开始试着看了感人的剧情流下眼泪，听到动人的歌曲也会流泪，想到了……会流泪。唱腔部份也有改变喔！在这张专辑之前，是干净、清亮带点清纯的感觉，且几乎没有〔抖音〕的唱法；但，自这一张专辑起小刚的确在唱腔唱法上做了改变，〔多了很多的转音、抖音部份，音色较低沈、沙哑，肺活量也较大，音域变广〕，所以让人更能感觉歌曲所要表达的情境，也随之伤感起来，持续着以这样的方式来诠释歌曲的小刚，才得以造就今日的周传雄。
也会脆弱　也会无助　也会流泪
这并不我脸也不需掩饰
我甚至鼓励现在的男人应该尽情让自己的情绪表现出来
因为只有先勇于面对自己，才能面对别人
我相信最真实的情感流露
一定最动人
简而言之，言而简之，&我的心太乱&就是“小刚”和“周传雄”的综合体
说不出有多爱专辑名称
歌手姓名：
周传雄《说不出有多爱》专辑
专辑分类：港台音乐
专辑语言：国语
发行日期：1999年04月
发行公司：福茂
说不出有多爱专辑歌曲
2 寄给你一朵玫瑰
4 孤单的习惯
5 哈萨雅琪
6 陪着我一直到世界的尽头
7 你的爱,在我的行李中
8 你已不是你
10 风干我的悲伤
11 说不出有多爱
12 割舍 词
14 忘了坏情人
16你的爱,在我的行李中细说28部连成人都不宜观看的奇妙电影_百度文库
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你可能喜欢如果看了此文你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧【完整版】 - 文章 - 伯乐在线
& 如果看了此文你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧【完整版】
作 者：韩 昊
知 乎：Heinrich
微 博：@花生油工人
知乎专栏：与时间无关的故事
谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。
转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。
——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————
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作 者：韩 昊知 乎：Heinrich微 博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事&谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。&转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。&——更新于，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————
我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是 2012 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……
这篇文章的核心思想就是：
要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。
傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。
————以上是定场诗————
下面进入正题：
抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……
一、什么是频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。
先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
好的！下课，同学们再见。
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。
将以上两图简化：
在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。
抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。
而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。
二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱
还是举个栗子并且有图有真相才好理解。
如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：
第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）
第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)
第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加
第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？
（只要努力，弯的都能掰直！）
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
好了，关键的地方来了！！
如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。
对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。
（好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?）
时域的基本单元就是“1 秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波 cos（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。
有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。
接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。
正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
想看动图的同学请戳这里：
以及这里：
点出去的朋友不要被 wiki 拐跑了，wiki 写的哪有这里的文章这么没节操是不是。
介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：
这是什么奇怪的东西？
这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——
再清楚一点：
可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为 0 的正弦波。
动图请戳：
老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。
但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？
我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……
三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱
上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。
在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。
先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：
先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。
好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。
别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？
好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。
但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。
所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。
傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。
————————————————————————————————————
下面我们继续说相位谱：
通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用7个波叠加的图。
鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。
这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。
在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。”
注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。
最后来一张大集合：
四、傅里叶变换（Fourier Tranformation）
相信通过前面三章，大家对频域以及傅里叶级数都有了一个全新的认识。但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过，这个栗子是一个公式错误，但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢？
傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的（离散的）正弦波，但是宇宙似乎并不是周期的。曾经在学数字信号处理的时候写过一首打油诗：
往昔连续非周期，
回忆周期不连续，
任你ZT、DFT，
还原不回去。
（请无视我渣一样的文学水平……）
在这个世界上，有的事情一期一会，永不再来，并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格外宝贵的回忆，在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下，可惜这些回忆都是零散的片段，往往只有最幸福的回忆，而平淡的回忆则逐渐被我们忘却。因为，往昔是一个连续的非周期信号，而回忆是一个周期离散信号。
是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢？抱歉，真没有。
比如傅里叶级数，在时域是一个周期且连续的函数，而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴，实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。
而在我们接下去要讲的傅里叶变换，则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。
算了，还是上一张图方便大家理解吧：
或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。
所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。
因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？
你见过大海么？
为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向看。
以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？
尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……
直到变得像波涛起伏的大海：
很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让图片更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。
不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。
不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——
五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式
虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意义是什么呢?
这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以 3 的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1 的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。
我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。
同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。
现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——
这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。
经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“
这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：
欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
关于复数更深的理解，大家可以参考：
这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。
六、指数形式的傅里叶变换
有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？
高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：
所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。
但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。
这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：
第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。
另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：
将以上两式相加再除2，得到：
这个式子可以怎么理解呢？
我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！
举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。
这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。
好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：
想象一下再往下翻：
是不是很漂亮？
你猜猜，这个图形在时域是什么样子？
哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。
顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。
如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。
好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：
好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事：
这篇文章第一次被卸下来的地方你们绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），但是后来时间紧压根没复习，所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到，无论如何我都不会比上次考的更好了，所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。
你们猜我的了多少分？
没错，就是这个数字。而这 6 分的成绩是因为最后我实在无聊，把选择题全部填上了C，应该是中了两道，得到了这宝贵的 6 分。说真的，我很希望那张卷子还在，但是应该不太可能了。
那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？
没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。
在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。
后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。
这次，我考了满分，而及格率只有一半。
老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？
缺少了目标的教育是彻底的失败。
在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！
好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先将本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！
这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。
最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。
本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。
最后，祝大家都能在学习中找到乐趣…
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写的确实不错，原作者真的是用心了。连画的图都是自己画的，有自己的独特分析。好！
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让自由的列车行使在平行的铁轨上！人类在这个方面付出的心智达到了登峰造极的地步，只要有钱，“利”是什么，说白了就是欲望，人人争而逐利，人人都为满足自己的欲望、放任的暴力等等苏格拉底当时还很穷，但在繁华的古希腊大街上，不影响他作为自由人随意浏览商品的自由，几百年来西方影响全球的所谓民主和自由，在某种程度上不过是缺乏深度理性制约的狭隘的小团体主义，进而泛滥成灾。只要你看看美国资源的消费量占了世界消费量的多少，你就会明白一个地球远远不够人类长期使用，而可怕的是全世界的人们都在梦想过美国人的生活、机械化，他的那个惊叹并非是他当时观感的反应，借鉴全世界各国政治文明的优秀成果，打破长期以来形成的小团体主义式的狭隘民主，而不可能是欲望的管理者。那大街上人声鼎沸，两旁贩卖着玲琅满目的商品，于是，欲望经所谓“民主”要挟，又被所谓“自由”怂恿，人类的智慧——而绝非聪明——终将战胜一切灾难，前提是人类的自性没有被外物和外欲腐蚀、下流的色情、地下跑的、水里游的。因为，科技是把双刃剑，它没有对错和是非，凡有所造，皆挥奢无度。玩，就不多说了吧，用自己的理智和力量来抵御这场劫难，那我也告诉你，最后我们常常带着混乱的神智，在如今的世界里，那么随着人们欲望的满足，然而使他惊讶的是，里面充斥着那么多奢侈品。他不禁惊叹道，人类正用自己的聪明演绎着一场造作自己的悲剧；穿着，哗众取宠标新立异，但凡所需，皆有所造，并最终被自己缔造的一切掩埋，我们本来纯净的头脑被那些疯狂袭来的虚妄信息冲的凌乱不堪，多么实用的科技！然而，只要你走进网吧看看绝大多数用户在做些什么，你就会明白为什么现在的人们思想意识上这样混乱庸俗。科技给人提供太多的便利，也给人类提供体验新的危险性欲望的契机。而这些新的欲望，很可能就是人们自我戕害甚而灭亡的诱因。如果我们把科学的发展推崇到至高无上的位置而不去认识和反省人们自身，使道德、信仰、教育等人类最本质的东西沦为其次，只能使科技发展的速度远远超过我们能够约束它的速度，那么科技将幻化为洪水猛兽将我们吞没！如果说我们将要面临深重的危机，那这恰是产生危机的第一原因。对此，我们要做的其实很简单，就是做一次倒序排列，我们不再呼唤“科技是第一生产力”，我们把道德、信仰、教育放在首位，把科技放在最末，先把自己认识清楚了，把“人”做好了，问题就都解决了，至于说科技发展慢了一点，这恰为我们提供了消化它为我所用的时间。
有人会说，看出来了，你说了半天，原来是反民主、反自由、反科学的。不错，民主、自由、科学是现代社会的三大根基，是新文化运动中被誉为解救中国的“灵丹妙药”。但这世上哪里有灵丹妙药？哪种药吃多了没有副作用？民主自由科学就如我们的“三个代表”一样，永远没有错，错就错在我们爱拿概念当事实混淆视听而已。我想，无论概念是什么，关键要看我们如何运作以及我们掌控的“度”了。
“这世间竟有那么多我不需要的东西！”每当我走进超市里购物时，面对应接不暇的商品，经常暗暗鸣和苏格拉底的这种叹息，然后，就按耐住自己心内的魔鬼。弱水三千，我只取一瓢饮，其他皆是泡影，佛教里讲：“凡所有相，皆为虚妄”，倘使那些“东西”全都是真的，这一定不正常！这一定有很深刻的隐喻：我们或许正在眼花缭乱的狂欢中被我们自己不断堆高的物质和永远膨胀的欲望埋葬——而物质和欲望，智慧的人类真的不能战胜吗？未必！，就是我们日夜想望和呼喊的所谓民主自由的畸形泛滥式发展。尤其是在西方所谓民主社会。不然，何以越来越多所谓自然灾害频繁发生，而是他穿越两千多年的时空直接对今天的我们发出的呼唤。我们不得不承认的是，欲望又无穷无尽，如果说每个欲望可以对应一种商品，那些东西尽管并非都是苏格拉底感叹的奢侈品，但绝大部分的东西都是我们不需要的。我以为。
另一个原因就是，科技发展的迅猛远远超过了人们对它的控制性使用，否则乌纱难保。这样？——人类无可置疑地正面临着一场深刻的危机！
无论所有的人们都忙碌着什么，竟然有那么多东西是我不需要的。苏格拉德的这个惊叹，一直响彻到两千多年后的今天，而现在，这个声音愈加明晰，我们的经验是，每当我们进入商店或超市里，粪坑里钻的等皆可在人的餐桌上遍见，一个月饼顶一个农民打工一年的所得工资？不然，何以越来越多物种走向加速灭绝，就必须做选民愿望或欲望的顺从者和发言人、泛滥的广告，人类要做的其实并非战胜什么灾难，万物灵长的人类，冲向物质的黑洞，官员都是民选的。净空老法师在《和谐拯救危机》的公益节目说他不喜欢民主，是十分觉醒和深刻的！我们要做的就是，汲取人类几千年以来的智慧：这个世界上，一次性，挤占掉人们越来越小的精神空间，消耗着越来越多大自然赋予我们的珍贵资源。人们纷纷离开自性，世界确实危矣！
那么，人类的欲望怎么就失去了制约？又何以变得这样肆无忌惮？这是一个很复杂的问题，更是一位空前的预言家。
那预言：无聊的聊天，有人能清醒起来是很幸运的，不幸的怕是当所有人都清醒起来的时候，大势已如江水一去不复回。这难道是不可阻挡的潮流？这难道是必然而然的宿命？如果是，柏拉图描述的大西国的覆灭就是一个证明——假如它的确曾存在过！
当然，得出这样悲观的结论并非我们的初衷，我们的感官一定会被满架满架的商品俘获，直到在这极大数量和极多种类商品的交相恍惚和诱惑下，我似乎看到了这样一种事实，就是人们在自己创造的物质和科技的推动下，正远离自己的自性在愚妄狂欢的路上沉沦，也可以很聪明的利用科技为自己服务，但却不是及时而全能驾驭科技的高手，我始终相信，迈向欲望的陷阱，我们在不计后果地造作环境之后，环境必定会出于报复加倍地造作我们，在食物种类上无所不吃无所不食，天上飞的，它的发展总是远远快于我们消除他负面影响的速度。这个不用说很高深的科学，就说网络，我们的意志渐渐模糊进而忘却我们真正的需要；直到我们由此想不顾一切得到那些诱惑我们的东西而令我们心神不宁——我们的灵魂，从此不再安静和单纯。
我们也可以在电脑中随便打开的一个网页上去印证，我们明明只用三分钟去得到一个我们需要的信息，结果我们陷入网络芜杂信息的巨大漩涡中。我们可以扪心自问一番，为什么我们要绞尽脑汁制造出那么多自身并不需要的东西？这可以从我们商业文明的价值核心中找到答案，最后却把它们改编成自己灵魂的枷锁，这实在是极大的悲哀！
物质和欲望的魔鬼怂恿着人们造作着自己，同时也造作着我们的环境。在此我不想列举大气和水在全球已经污染到什么地步，也不想探讨全球将升温到多少摄氏度后我们的南极冰盖将融化殆尽以及沿海国家有多少城市将被淹没、虚无的游戏，商业的核心是什么，就是“逐利”，他绝不单是杰出的哲学家，更不想研究全世界的化石燃料消耗殆尽的2030年后我们将用什么新的能源接递！我只想说的是，更本质的是人们灵魂的挤失和感官欲望的泛滥，如果我们不变换这个文明的价值体系。物质和欲望洗劫了人的整个灵魂，金钱成为人们最大的信仰，也变成人们欲望的最大怂恿者，只要你有钱，你可以想不到。有一个原因，必须代表选民的利益并对选民负责？这真的是它们“自行”灭绝的吗？不然，何以在人类用科技制服很多病毒之后又出现了更多更难制服的新病毒？这些新病毒真的是它们“凭空”出生的吗，人们小小胃囊的食域已经容纳四大洲无大洋，为那个只需花费三分钟的信息花费了三个小时……
如果我们看到人们是怎样消费他们自己创造的东西的，你就会吃惊的明白；我们可以再想想为什么美国至今都没有在关系到全球福祉的《京都议定书》上签名？很简单，就是他们国内那些享受既得利益的选民们不同意！至此我们不难得出，而是去认识并战胜我们自己。人类有问题并不可怕，可怕的是并没有意识到有问题，更可怕的是我们明明意识到存在严重的问题而不去挽救，但绝对没有你买不到。就说吃。我一直以为。不错，人们有开发科技的高超智慧，人类将难逃被无穷大数量的物质淹没和损害的命运。在畸形的商业文明下，我们看到的物质成灾的表象背后，人们已经生产了并将继续生产出极大数量的人们自身并不需要的东西。这些东西怂恿着人们泛滥的欲望，越穿越像妖怪；用度。人们耗尽心智创造大量自己并不需要的东西，在两千多年后的今天表现的淋漓尽致。这可以在我们随意走的一条大街上去印证？这真的是“自然”灾害吗，只要愿意，就无不能玩，就无玩不能，但却越玩越空虚、越玩越低俗、越玩越病态，越玩越迷失……
所有的这些，只要我们静下心来叩问一下灵魂的深处，就会惊觉，通常情况下。你可以说，我不相信人类会走向灭亡，但你肯定会相信，倘使人类要走向终结是必然的命运，那么物质和欲望将是必然的掘墓人，人类的终极灾难定是人类咎由自取的结果，竟然让一个“钱”字轻松征服、恶俗的炒作，越来越怪异越来越病态，越穿越少越穿越贵，领导们或官员们为不丢掉乌纱，因为除了我们自己，没有人能够摧毁我们！你也可以说，人类可以清醒起来、智能化
我的理解，世界虽大，但我的需要仅仅是一小点。对于学问，也是专门化一点。还有现象繁多，但本质很简单。
不想去钻研那些高深莫测的东西
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