大物实验-不确定度传递公式
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大物实验-不确定度传递公式
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CHINA METROLOGY
1999年 第4期 No.<font face="Times New Roman" size="2"
color="# 1999
测量不确定度的实际计算
肖懿群　王丽君
　　一、直接测量、间接测量与合成不确定度
　　直接测量法是指不必测量与被测量有函数关系的其它量，而能直接得到被测量值的测量方法(见《JJG通用计量名词及定义》以下简称《1001》)。也就是说由一组操作即可获得被测量值，而不论这组操作复杂程度如何，也不论为了消除或减小影响量的影响而作的其它补充测量或多次测量。直接测量法的特点是被测量值可以直接从计量器具中得出。例如用游标卡尺测量工件长度；用天平称量物体的质量等。
　　间接测量法是指通过测量与被测量有函数关系的其它量，而得到被测量值的测量方法(见《1001》)。与直接测量法不同，有些量不能直接测量以得到测量结果，而必须先逐个测量与该量有关的量，然后再根据该量的定义公式计算出测量结果。例如通过测量矩形的长与宽而确定矩形的面积；通过测量管道中孔板两侧的差压而计算出管道中液体的流量等。
　　设被测量Y根据下列函数由直接测量法测得的量X1、X2、…、Xi、…、Xm计算得出：
　　Y=f(X1、X2、…、Xi、…、Xm)　　①
　　由①式可知，直接测量法实际上是间接测量法的特例，即：
　　Y=X　　②
　　因此，研究了间接测量法测量不确定度的计算，也就研究了所有测量方法测量不确定度的计算。所以当X1、X2、…、Xi、…、Xm的测量值x1、x2、…、xi、…、xm彼此独立时，间接测量的合成标准不确定度uc由下式计算得出：
　　其中：
　　1.Si是用A类评定法评定的第i个可直接测量的量Xi的不确定度分量。也就是通过n次直接测量xi所得到数据列xi1、xi2、…、xil、…、xin，用统计方法计算出的不确定度分量。通常用该数据列均值的标准差表示，即：
　　(1)对直接测量而言，i=1，则Si=S。而对于间接测量而言，直接测量了几个Xi就有几个Si。Si与Xi是对应的。
　　(2)既然Si是通过数据列计算出的，那么Si中就免不了包含有计量器具、人员、环境条件等误差源的影响，所以Si是多个误差源影响的综合反映。
　　2.uij是用B类评定法评定的第i个可直接测量的量Xi的第j个误差源Δij的不确定度分量，也就是用非统计方法计算出的不确定度分量。这种方法通常是以误差变化范围为计算依据。这个误差变化范围往往可以从计量器具制造说明书、检定或校准证书、有关手册、以前的测量数据等中获得。设某个误差源Δij的变化范围为[－aij，＋aij]，则：
　　(1)式中kij为包含因子，其值取决于该误差源Δij的概率分布和所需的置信概率。表1为不同分布下置信概率为1或接近1时的kij的取值。
　　在一定的概率分布下，包含因子总是与置信概率相对应的。表2为正态分布时，包含因子总是与置信概率相对应的。表2为正态分布时，包含因子与置信概率的对应值。
　　由于误差源Δij处于[－aij，＋aij]的置信概率为1，所以可以这样理解：aij除以kij以后，aij就转化成了标准不确定度分量uij，此时uij的置信概率就约为0.6827，与Si的置信概率保持一致了。
　　(2)除Si包含了一部分误差源的影响以外，还剩有误差源的影响Δi1、Δi2、…、Δij、…、Δik未被包含在Si中。这部分误差源对测量数据列的分散性未产生影响，所以它们就必须用B类评定法进行评定，即uij与Δij相对应。对于系统性的影响，必须进行修正，对于修正不完善部分，也可用B类评定法评定。
　　(3)不确定度的A类评定和B类评定只是数值评定的方法不同，而并不意味着它们之间存在本质上的差异。如果数据列中包含了所有误差源的影响，则就可只用A类评定法评定；如果不做重复测量，就可以从说明书、检定证书、手册或以前的测量数据中获得所有误差源的极限值，则也可以只用B类评定法评定；如果数据列中只包含了一部分误差源，而其它部分误差源必须从其它方面获知，则就必须同时使用A类评定法和B类评定法。
　　3.ui是第i个可直接测量的量Xi的合成标准不确定度。影响Xi量值的所有误差源都已通过Si和ui1、ui2、…、uij、…、uik评定出。为方便计算，对Xi的标准不确定度用公式④先进行合成。
　　4.Ci是传播系数。它反映了Xi的合成标准不确定度ui对被测量Y的合成标准不确定度uc的贡献程度。也就是说，影响每个可直接测量的量的所有误差源都要通过函数①式才能反映到最终测量结果中。显然，无论是与uij对应的Δij，还是包含在Si中的误差源，都要通过Ci才能“传播”到uc中。
　　Ci由函数①式决定，即：
　　直接测量时，C=1。
　　5.综上所述，对于直接测量而言，合成标准不确定度的计算公式③就可简化为：
　　二、测量不确定度的评定程序
　　1.直接测量
　　(1)定性分析影响测量结果的所有误差源及其影响。分析时注意不要遗漏。
　　(2)用A类评定法评定，求出S。并分析S中已包含了哪些误差源。
　　(3)将剩余的误差源Δj分别用B类评定法评定，求出uj。注意各误差源不要重复计算以及各误差源不同的概率分布和它们各自的置信概率。
　　(4)合成，求出uc。此时的不确定度为合成标准不确定度，其置信概率为0.6827。
　　(5)扩展。将合成标准不确定度uc乘以包含因子k，就得到扩展不确定度U，即：
　　U=kuc　　⑨
　　严格来讲，此处的包含因子k是通过合成标准不确定度的有效自由度υ查t分布表得出。但是由于B类标准不确定度的自由度不易得到，因此合成标准不确定度的有效自由度也不易求出，故通常按正态分布处理取k=2或3。若k=2，则认为该扩展不确定度的置信概率为0.9545；若k=3，则认为该扩展不确定度的置信概率为0.9973。
　　2.间接测量
　　(1)根据被测量Y的定义公式，定性分析影响每个可直接测量的量Xi的所有误差源。
　　(2)用A类评定法评定，求出所有的Si。
　　(3)用B类评定，求出所有的uij。
　　(4)“小合成”，用公式④分别求出所有的ui。
　　(5)根据被测量Y的定义公式，用公式⑦分别求出所有的传播系数Ci。
　　(6)“大合成”，用公式③求出该被测量Y的合成标准不确定度uc。
　　(7)扩展，用公式⑨求出该被测量Y的扩展不确定度U。
　　三、计量器具的测量不确定度
　　不确定度是与测量结果相关联的参数，表征合理地赋予被测量之值的分散性。故不确定度是指测量的不确定度。而测量，就免不了要受到环境、人员、测量方法、被测量等因素的影响。所以《GB／T19022.1国家标准辅助学习资料(之二)――测量不确定度的评定》中定义计量器具不确定度为“在规定条件下，计量器具使用于测量时的不确定度，即在规定条件下用于测量所得测量结果的不确定度。这些规定条件可以是环境条件(如温度、湿度条件)、人员条件(如某一水平的测量人员)、测量方法(如测量次数)等。”笔者认为还应加上被测量条件，即要尽量排除或减小被测量的变化对测量结果的影响。通常情况下，如果在检定规程或操作规程规定的环境条件下，由持证人员对合格的且比较稳定的被检计量器具示值或被测对象做不少于10次的重复检定或测量，所得的测量不确定度就是该计量标准或工作计量器具的测量不确定度。若该计量器具有多项指标，则应按指标一一计算其不确定度，选一个或数个主要指标的不确定度为该计量器具的测量不确定度。
　　四、实例
　　例1　在重复测量条件下，对某量进行12次测量，得测量列11.5、11.0、12.3、13.5、14.1、10.6、10.8、14.1、13.0、10.5、11.2、12.0(本例中略去计量单位)。其它误差源忽略不计，求测量不确定度。
　　本例用直接测量法进行重复测量，由于可忽略其它误差源，uj=0，所以可只用A类评定法评定。则：
　　故：uc=S=0.38
　　通常取k=2，则：
　　扩展不确定度U=2×0.38=0.76　(P=0.9545)；
　　若取k=tp(υ)=t0.9545(12－1)=2.20，则扩展不确定度U=2.20×0.38=0.84　(P=0.9545)。
　　例2　用分度值为1μm的千分尺测量圆柱体直径d与高h各6次，所得数据列见表3，用公式V=0.25πd2h计算出圆柱体体积V，求该测量结果V的不确定度。参见本刊1998年第三期“计量培训”系列讲座之三《长度计量中不确定度的评定》。
　　1.本例用间接测量法进行重复测量。设除千分尺示值不确定度分量以外，其余所有不确定度分量都由A类评定法评定。
　　2.A类评定。由公式⑤得：
　　Sd=0.00048cm，
　　Sh=0.00026cm。
　　3.B类评定。按检定规程规定，该千分尺示值的最大允许误差为±1μm，可以认为该误差是以1μm为半宽度呈均匀分布，则由公式⑥可得：
　　4.“小合成”。由公式④得：
　　5.求传播系数。
　　6.“大合成”。由公式③得：
　　7.扩展。取k=2，则由公式⑨得：
　　U=2×0.6cm3　(P=0.9545)。
　　例3　计算某一标准装置的测量不确定度。设在规定条件下，选一示值较为稳定的工作计量器具作重复检定。在示值为20、40、60、80、100时重复检定5次，得各点示值如表4所示(本例中略去计量单位)。
被检工作计量器具读数
每次测量标准偏差
　　1.本例用直接测量法进行重复测量。设除主标准器示值的不确定度分量以外，其余所有不确定度分量都由A类评定法评定。
　　2.A类评定。当主标准器示值为80时，单次测量的标准偏差最大，则：
　　3.B类评定。设主标准器示值误差在±0.25内均匀分布，则：
　　4.合成。
　　5.扩展。取k=2时，则：
　　U=2×0.425≈0.8　(P=0.9545)。
　　最后，在计算测量不确定度时，还一定要注意以下两点：
　　1.在测量xi时，一定要使xi间彼此独立，否则不能应用公式③。
　　2.在分析各误差源时，不能遗漏；在具体评定时，不能重复。
作者单位：肖懿群　甘肃省技术监督局计量处
　　　　　王丽君　甘肃省经济贸易委员会能源处您的位置： &
一等标准铂电阻温度计在（0～419.527）℃温区检定的不确定度评定
摘　要：介绍了一等标准铂电阻温度计的在锌凝固点检定的不确定度的评定方法，包括Ａ类标准不确定度及Ｂ类标准不确定度的确定，标准不确定度的合成及有效自由度的计算，并按误差传播公式计算出了在各温度点的扩展不确定度及包含因子。
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