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流体力学与应用数学
1 流体力学与数学流体力学可以被看做是应用数学的一个分支学科， 所以还是从流体力学与应 用数学和计算数学的关系开始。 1.1 流体力学与应用数学的关系 流体力学是力学的一部分， 也是应用数学的一门重要课程或一个重要的应用 数学学科分支。近代科学的发展，就是开始于力学，其最有影响力的人物自然是 牛顿。现代科学的发展一日千里，常使我们有一幻觉，以为力学、牛顿等等，一 定是不知几千百年前的老古董。其实牛顿的“自然科学的数学原理”在 1687 年 才发表，距今仅仅三百余年。1687 年是康熙廿六年，从中国史的眼光看，实在 是太近的近代了。牛顿的力学是以质点力学为主。这是很自然的。因为无论苹果 或行星的运动，把它们当质点看，确是很近似的。牛顿力学的主要内容在其牛顿 第二定律用一句话来说就是： “质点的加速度乘质量，与所受外力成正比” 。多么 简洁漂亮的自然之规律。如果我们令 m 是质点的质量，a 是加速度，F 是外力， 牛顿第二定律就可写成： F = ma 。即 F = ma = m d 2x dt 2 （1.1.1）不要看轻这一简单的方程式。从这一简单的方程式，就可给出行星运行的规 律，宇宙飞船的轨迹等等看起来超级复杂的自然科学与工程技术难题的解释说 明。我们大概都会骑自行车，而自行车的运动原理也可从这一方程推出，虽然这 一问题或者说过程并不简单。 流体力学的主要内容，也可说是包括在这一方程中。我们要知道，牛顿定律 是可用于任何物质质点的。如果我们专注于流体中某一特别小团的分子,今后称 其为微团，而微团的运行当然是遵从牛顿定律的。我们所取的微团通常包含有千 千万万的分子，且微团的典型长度确又是很小很小的，而微团就可以当作质点来 看。所以方程 F = ma 就可以应用来研究、分析这一问题了。 在方程 F = ma = m d 2x 中，F 是外力。就地球在太阳系中的运行而言，这外 dt 2力主要是太阳，月亮及其它行星作用于地球上的引力。对钟摆而言，主要的外力1是地心引力及摆链的拉力。对于流体中的微团而言，除了地心引力等外力以外， 还有一种更重要的力，就是附近其它流体质点作用在它上面的力。因为流体微团 是沉浸在流体中， 是与流体的其它质点相接触的， 它们相互之间当然有力的作用。 这种力可以看作只作用在流体微团的表面上。举例言之，当我们下水游泳时，可 以感到水的压力，这水压显然是作用在我们身体的表皮上。因此我们可以想象任 何水的微团一定也感到同样的压力。这种力我们通常叫做应力 应力。这种流体微团感 应力 到附近流体作用于其表面的应力，依照牛顿第三定律，有与之相同的应力反作用 于其附近的流体上。所以当我们写下附近另一流体微团满足的方程 F = ma 时， 其所受的力 F，来自这一接触面的部分，这正是反作用的应力。 因为每一流体微团都要满足 F = ma = m d 2x 那样的方程， 我们就应该一一写 dt 2-6下它们的方程。如果每一微团大小约与每边 10 厘米的立方体相当，其体积就大18 约是 10-18 立方公分。 要研讨一立方公分流体的运动情形， 就得分析 10 个像 F=ma那样的方程式。如真要这样，不用说计算，就光是写那些方程式，恐怕就需几万 万年。流体力学当然就无从发展了。 一个办法是用流体微团的位置来分别表明不同的微团。假定 ( x, y, z ) 是流体 微团原来的位置。因此这原来在 ( x, y, z ) 的流体微团，在时间 t 的位置就可用X ( x, y, z , t ) 来表示。这样一来，这 10 个像 F = ma = m18d 2x 这样的方程式，就可 dt 2用一个偏微分方程来表达：m d 2 X ( x, y, z , t ) uv =F dt 2（1.1.2）从（1.1.1）到（1.1.2） ，可说是质点力学到流体力学很重要的一步。下一 问题就是如何适当地表达 F。以方程（1.1.2）而言，显然我们还未曾利用流体 的特性。所以（1.1.2）也一样可用于固体力学。利用流体的特性，将 F 与流体 流动的性质关联起来，就是另一重要步骤。这一步骤通常也可用偏微分方程来表 达。这种偏微分方程叫做本构方程。物体之分别为固体、流体，以及什么样的固 体或流体，就表现在它们的本构方程上。2方程（1.1.2） ，加上本构方程，再加上另一表示质量守恒的方程，就构成流 体力学的基本方程。这里的本构方程可以说就是归纳宏观实验结果，建立有关 物质的本构关系是连续介质力学和流变学的重要研究课题。最熟知的本构 关系有胡克定律、牛顿粘性定律、理想气体状态方程、热传导方程等。 两千多年前的阿几米德既是静力学，也是流体静力学的始祖。牛顿则是流体 动力学的始祖，声速的公式就是他首先导出的。普通流体如水、如空气都有所谓 的黏性，代表一种对流动的阻力。表达这种阻力的本构方程，其基本观念的提出 也可上溯到牛顿。这也是何以一般流体常叫做牛顿流体的原因，而有别于一些较 不普通的非牛顿流体，如沥青、血液等。 牛顿于 1727 年离世，其后近两百年间，流体力学有很大的进展。但大体而 言，这期间流体力学的发展也可说是数学的发展。十九世纪的热力学及气体动力 学（Kinetic Theory of Gases）的兴起，对流体力学有着重要的影响。但是除 此以外，在对流体的一般物理性质的研究方面，比牛顿时代，并没有增加多少。 因此流体力学中的问题，主要的也就是数学上的问题。 牛顿以后的许多大数学家如 Bernoulli， Euler, Lagrange, Laplace, Gauss, Cauchy,及 Riemann 等等，都曾对流体力学有过直接而巨大的贡献。那时，数学 分析方面的问题，与力学及电学有非常密切的关系。因此，数学家会很自然地接 触到力学及流体力学的问题。 但流体力学所涉及的数学问题， 也有其独特的一面： 流体力学的基本方程是非线性的。这一困难自然也激发、开拓了新的数学园地， 却也因此，虽经两百余年的努力，许多流体力学上的重要问题，仍没有满意的答 复。 也就是说，流体力学的问题，数学上的分析就困难得多，其进展也就延缓下 来。但就另一方面而言，理论流体力学也就开始成为完全独立的一门应用数学。 1.2 力学与数学的分分合合 力学与数学的分分合合 自然科学各学科的发展，有相对独立的发展时期，有较多的渗透与综合的发 展时期，这两种时期交替出现．恩格斯曾经把十九世纪中叶由三大发现【能量转 化与守恒、细胞说、进化论】开始的自然科学系统化的趋向称为自然科学的一次 大综合。近年来，人们又愈来愈多地谈论着近几十年出现的又一次自然科学大综 合的趋势。 这种趋势的代表性特征是各门学科之间的边缘学科大量产生和以控制3论、信息论以及系统论等反映综合性规律的新学科的陆续出现。 一门具体学科，必然体现自然科学总进程的时代特征。力学正是这样，近四 十年来的发展呈现了十分明显的综合性趋势， 从数学的角度来看这种趋势突出地 表现在力学与数学又有了重新融合的趋势。 先来回顾一下力学与数学曾经经历过的悲欢离合。 十七、八世纪力学的发展很难和数学分开，一个伟大的力学家同时也是一个 大数学家。一个开创性的力学命题同时也就会奠定了一个数学研究的新方向。牛 顿、欧拉、拉格朗回、哈密尔顿、拉普拉斯和柯西等数学家就是典型代表．牛顿 力学体系的建立和微积分的产生，短程线问题和变分原理的确立，广义位移的引 进和高维流形的研究，天体力学和微分方程定性理论等等都是如此的密不可分。 在这一时期，数学和力学简直是一个问题的量和质的两个侧面。 然而到了十九世纪末，这种情况变化了。力学家和数学家分家了，共同语言 减少了。他们写的书除了一小部分以外，相互都看不懂。 产生这种分家的原因来自两个方面： 一方面这一时期正是大工业在世界范围 内大发展的时期，工业给力学提出了许多迫切的实际课题。大多数力学家忙于解 决这些问题，航空、航天、航海、机械、建筑等技术领域到处凝结着他们的成果。 另一方面，数学自身的发展提出了大量问题，1901 年巴黎召开的国际数学会上 德国数学家希尔伯特 希尔伯特提出的 23 个数学难题就属于这种性质的问题。这组问题被 希尔伯特 誉为二十世纪数学发展的纲领。 相当部分的数学家被这类问题所吸引而致力于数 学自身的完善，这种研究方向被人们称之为纯粹数学。二十世纪，数学家们在这 一方向上取得了很大的成就。 二十世纪六十年代以后，这种状况得到了逐步的改观。首先，纯粹数学家所 热衷于解决的那些难题有很多已被解决了，剩下一些硬骨头难题急切又难于解 决、有相当多的数学家意识到脱离其他学科的纯数学很难再照原样继续下去了。 一位美国数学家说： “数学正走在社会知识界中一条错误路线的边缘。“许多数 ” 学家退居到私人研究的安乐窝里更易助长他们的孤立” 。他说： “必须采取步骤来 改善一般群众和数学界的交往。 ”纯粹数学家和应用数学家（其中有一部分就是 力学家）以及别的学科的专家交往增加了。另一方面，科学技术的更加精确化要 求更新的数学工具。 不少人注意到了数学向科学技术各部门乃至社会科学的渗透4是现代科学发展的突出特点。在数学向各学科广泛渗透中，力学和数学在经过长 时期的疏远以后，又变得更为亲密了。近年来，力学中的一批理论问题如湍流问 题、断裂问题、本构关系问题的研究需要更新的数学工具。纯数学的某些成果逐 步向力学普及，这就产生了力学和数学重新融合的趋势。这种趋势表现在以下几 个方面： （1）力学界的数学水平提高了。在上四十年代，冯?卡门曾经在一篇文章 中呼吁力学家要用数学工具武装自己。 在那时大学力学教材中甚至一些力学专著 中用到的数学一般不超过微积分和简单的微分方程。而近四十年来，国际上基于 高水平数学的力学教材大量出现。 例如阿诺尔得为莫斯科大学三年级写的力学教 材中包括了流形、辛几何、李群等现代数学工具，希尔伯特空间、弱收敛、概率 论和随机过程等理论是许多力学专著中经常使用的数学工具。 （2）提出了一批既属于力学领域又属于数学领域的新课题，并经过数学家 和力学家的合作取得了很大进展。例如，有限单元法、孤立波、反问题、分叉问 题以及混沌问题等都是近几十年来数学家与力学家合作的卓有成效的领域。 （3）数学和力学合作解决的某些课题，其意义实际上并不限于这两个学科 之内，它的方法被广泛应用于别的领域。例如孤立波最早在浅水中发现，后来在 弹塑性波、气体波动以及非线性热传导问题中都发现了这种现象。突变和分叉现 象最早也是在力学中发现并研究得较多，后来在理论物理、经济学乃至生态科学 中都得到充分的应用和研究。 这在一定意义上可以说力学和数学的融合趋势在整 个自然科学的综合趋势中起了某种带头的或积极的作用。 近来人们常说的新三论 （区别于控制论、信息论、系统论）即耗散论、协同论和突变论，有许多方法和 研究对象是总结力学问题加以抽象而形成的综合性理论方向。 另一方面，在其他领域中研究过的一些简单的数学模型，人们指望把它应用 于解决力学难题。众所周知，湍流是力学领域中，也可能是整个自然科学中的重 大难题之一。近年来，人们在其他领域中研究奇异吸引子、混沌等现象正逐步积 累的成果为湍流问题的解决展现了喜人的前景， 有的科学家把混沌看为湍流的简 单化模型，并把广泛存在于其他领域的混沌现象称为“处处有湍流” 。 （4）由于数学和力学的分家，不少力学家长期来将自己的任务仅限于将实 际问题化归于数学问题，然后再从数学家那里学习现成的数学工具加以解决。实5际上这只是一个方面的情况， 数学家的研究远远不能包含客观事物中各色各样数 量规律。许多第一流的力学家和工程师从不满足于仅仅提出实际问题，坐等数学 家去解决。近三十余年来，数学中许多重要的发现和创造不再只限于纯粹数学家 范围内，而是出自力学家和实际工作者之手。这种情况有点类似向十七、八世纪 的回归，例如有限单元法、样条插值、FFT（快速付氏变换） 、PLK 方法和奇摄 动方法等。 这些方法在实际应用的广泛性以及它们对于数学理论本身的深远影响 一点也不比获得 Fields 大奖的纯数学成果逊色。 （5）力学的各个分支近四十年来不约而同地进入了一个新阶段，线性问题 从理论上讲已没有很大的困难了，因而人们的注意力较多地转移到了非线性问 题。在非线性问题的研究中，一开始各分支学科就是紧密合作的。近三十年来， 稳定性问题、分叉问题、活动边界问题等等都是超越力学各分支学科的界线来研 究的，而且和数学家紧密合作来研究。这主要是因为和线性问题相反，这些问题 遇到的数学困难，在数学上也没有解决，数学家也正是要从这些问题中汲取营养 发展数学。这也可以说力学和数学重新融合的原因之一。 （6）随着计算技术的发展，力学和计算数学以及计算机科学相结合就产生 了一大类富有活力的学科：计算力学。本世纪最伟大的技术成就应当首推计算机 的诞生了，它对各门学科的影响是深远的。计算力学的形成或者说繁荣大约是近 四十年的事。人们把它定义为研究应用计算数学的理论和方法，利用计算机去研 究和求解力学问题的学科。借助于它，力学的面貌大大改观。突出表现在： ①力学中一批古老的计算方法被改造、 新的计算方法被创造以适应计算机的 特点。由于数值方法的发展，力学家需要新的数学来武装。例如有限单元法的收 敛是基于一种弱收敛的概念，它与古典的强收敛不同。为了讨论和了解这种收敛 性，泛函分析、索伯列夫空间的知识在力学界得到了相当的普及。所以可以说， 计算力学的诞生促进了力学与数学的再融合。 ②一部分老的实验方法逐渐全部或部分让位给计算机了， 如水电工程设计以 及需要大量数据采集和观察的风洞实验，借助于计算机实现了自动化。实验方法 与计算机相结合产生了实验力学的新方向――计算机辅助实验。 ③在计算机帮助下，人们发现了一批力学与物理现象，例如奇异吸引子和混 沌现象的认识都是在计算机帮助下才逐渐清晰起来的。6计算力学的诞生和繁荣，事实上是科学研究方法论的一次重要的发展，即在 理论研究、 科学实验之外的第三种方法论， 即科学计算是科学研究的第三种方法。2 流体力学与力学 流体力前面我们主要谈了力学与数学的渊源或者说是联系，现在纯粹地说说力学。 也不知是哪位力学大牛，在一次会议上为力学歌功颂德时，喊出了“力学支撑着 这个发展的世界”！下面我们就以此为题来谈谈力学。 ！ 2.1 力学支撑着这个发展的世界 力学是力与运动的科学，它研究的对象主要是物质的宏观运动，它既是基础 科学，又是众多应用科学特别是工程技术的基础。它过去建立在牛顿定律和经典 热力学的基础上，现在则扩大到量子力学描述的微观层次。力学和天文学、微积 分学几乎同时诞生，曾在经典物理的发展中起关键作用。20 世纪，力学在推动 地球科学，如大气物理、海洋科学等的定量化方面，作出了重大贡献。近年来， 还在材料科学、生物学、医学等科学分支中起着越来越重要的作用。由研究弦、 杆、板振动而形成的数学物理方法中的谱理论，很自然地被移用到量子力学。由 力学现象中首先发现的分叉(可追溯到 200 多年前 Euler 对压杆稳定性的研究)、 孤立波(约 100 年前)、混沌(40 年前)等现象以及相应的理论方法，是被称为 20 世纪自然科学最重要发展之一的非线性科学的核心部分。 力学又是为数极多的工程技术的基础学科。在 20 世纪，出于工程技术发展 的需要(顺便提一句，工程可以说无一例外地是宏观的)，应用力学有了空前的发 展。在力学理论的指导或支持下取得的工程技术成就不胜枚举。最突出的有：以 人类登月、建立空间站、航天飞机等为代表的航天技术；以速度超过 5 倍声速的 军用飞机、 起飞重量超过 300t、 尺寸达大半个足球场的民航机为代表的航空技术； 以单机功率达百万千瓦的汽轮机组为代表的机械工业， 可以在大风浪下安全作业 的单台价值超过 10 亿美元的海上采油平台；以排水量达 5×105t 的超大型运输船 和航速可达 30 多节、深潜达几百米的潜艇为代表的船舶工业；可以安全运行的 原子能反应堆；在地震多发区建造高层建筑；正在陆上运输中起着越来越重要作 用的高速列车，等等，甚至如两弹引爆的核心技术，也都是典型的力学问题。力7学在解决众多的新的工程技术问题及向其它学科渗透中， 大大丰富了力学学科本 身。 在传统的理论力学、材料力学、流体力学等学科外形成了空气动力学、水动 力学、渗流力学、物理化学流体力学、弹塑性力学、断裂与损伤力学、岩土力学、 振动学、生物力学、结构力学、爆炸力学、等离子体动力学、物理力学、细观固 体力学等分支。在有些方面，解决了过去不能解决的问题，如高速空气动力学之 对于航空、航天技术。有些方面，则大大改变了传统的概念，如断裂、损伤力学 的成果深刻地改变了强度设计的观点。又如，由于结构动力学的发展及对地震波 的研究，打破了过去在地震多发区不能盖高层建筑的禁区。由于解决科学和工程 技术问题需要计算， 力学工作者在电子计算机出现之前就已经提出了不少有效的 数学工具和计算方法。 由边界层研究发展起来的奇异摄动法已经形成普遍使用的 数学手段。有些方法，如 Galerkin 法，松弛法等，至今仍是计算数学的基本方法 之一。在计算机出现后，力学的计算更是如虎添翼，新的计算方法迅速出现，如 从结构力学中发展起来的有限元法，现在已是各种科学问题 (远不限于力学)的 基本算法之一。由于流体力学计算的需要，极大地推动了有限差分法的发展。现 在，计算力学已是整个计算科学中最重要的支柱之一。 从以上对力学发展过程的回顾可以清楚地看到， 力学是随着人类认识自然现 象和解决工程技术问题的需要而发展起来的。 力学又的确对认识自然和解决工程 技术问题起着极为重要、在很多时候是关键的作用。环顾我们的自然界，如今还 有众多的关系到人类生存和生活质量的宏观现象，远没有被认识清。如全球的气 候问题、环境问题、海洋问题、自然灾害（如台风等）问题等，将会继续不断提 出新的力学问题。更不用说，21 世纪将出现的更新、更大、更复杂的工程技术 问题有赖于力学的新发展去解决。只要承认人类永远生活在宏观环境中，就不难 理解力学的发展对人类生存和社会进步是永远不可少的。 目前在科学的研究上，正在采用对同一问题在不同尺度上进行研究的方法， 力学也不例外，例如为了更好地理解材料的力学性能，既需要在宏观层次上，又 需要在细观、甚至微观层次上进行研究，但是如何将不同层次的现象联系起来， 无论对哪一学科都还是难题。以自然科学发展的历史来看，有理由相信首先突破 这一难点的有极大可能是力学，其方法论的意义因而也将是巨大的。8当然，我们更关注流体力学的发展。 2.2 流体力学的发展历程 流体力学的发展历程 流体力学是连续介质力学的一门分支， 流体力学是一门基础性很强和应用性 很广的学科，是力学的一个重要分支，是研究流体（包含气体及液体）现象以及 相关力学行为的科学。 它的研究对象随着生产的需要与科学的发展在不断地更新、深化和扩大。20 世纪 60 年代以前，它主要围绕航空、航天、大气、海洋、航运、水利和各种管 路系统等方面， 研究流体运动中的动量传递问题， 即局限于研究流体的运动规律， 和它与固体、液体或大气界面之间的相互作用力问题。60 年代以后，能源、环 境保护、 化工和石油等领域中的流体力学问题逐渐受到重视， 这类问题的特征是： 尺寸小，速度低，并在流体运动过程中存在传热、传质现象。这样，流体力学除 了研究流体的运动规律以外，还要研究它的传热、传质规律。同样，在固体、液 体或气体界面处， 不仅研究相互之间的作用力， 而且还需要研究它们之间的传热、 传质规律。 丰富多彩的流动图案背后隐藏着复杂的力学规律。 流体力学是研究流体宏观 运动规律的学科，主要研究流体的运动规律，流体之间或流体与固体之间的相互 作用力，及流动过程中动量、能量和质量的传输规律等。也就是说，研究和解决 生产、科研、生活中的流体运动问题就是流体力学的任务。 流体力学的基础理论由三部分组成。一是流体处于平衡状态时，各种作用在 流体上的力之间关系的理论，称为流体静力学；二是流体处于流动状态时，作用 在流体上的力和流动之间关系的理论，称为流体动力学；三是气体处于高速流动 状态时，气体的运动规律的理论，称为气体动力学。 0.18 世纪以前， 在流体方面， B.帕斯卡指出不可压缩静止流体各向压力 （压 强）相同。牛顿在《自然哲学的数学原理》中指出流体阻力与速度差成正比，这 是粘性流体剪应力与剪应变之间正比关系的最初形式。1636 年 M.梅森测量了声 音的速度。R.玻意耳于 1662 年和 E.马略特于 1676 年各自独立地建立气体压力 和容积关系的定律。以上这些对物性的了解，为后来弹性力学、粘性流体力学、 气体力学等学科的出现作了准备。与此同时，有关材料力学、水力学的奠基工作9也已开始。，丹尼尔第一?伯努利还在流体力学中导出能量关系式，第一次采用 水动力学一词(1738)。 1、18 世纪～19 世纪，流体力学得到了较大的发展，成为独立的一门学科。 古典流体力学的奠基人是瑞士数学家伯努利(Bernoulli，D．)和他的亲密朋友欧 拉(Euler，L.)。1738 年，伯努利推导出了著名的伯努利方程，欧拉于 1755 年 建立了理想流体运 动 微分方程，以后纳 维 (Nervier.-L.-M.-H.)和斯托克斯 (Stokes，G．G．)建立了黏性流体运动微分方程。拉格朗日（Lagrange）、拉普 拉斯(Laplace)和高斯(Gosse)等人， 将欧拉和伯努利所开创的新兴的流体动力学 推向完美的分析高度。 但当时由于理论的假设与实际不尽相符或数学上的求解困 难，有很多疑难问题不能从理论上给予解决。 2、19 世纪末以来，现代工业迅猛发展，生产实践要求理论与实际更加密切 结合才能解决问题。1883 年，雷诺(Reynolds，O.)用不同直径的圆管进行实验， 研究了黏性流体的流动，提出了黏性流体存在层流和紊流两种流态，并给出了流 态的判别准则―雷诺数。12 年后，他又引进紊流（或雷诺）应力的概念，并用 时均方法，建立了不可压缩流体作紊流运动时所应满足的方程组，雷诺的研究为 紊流的理论研究奠定了基础。1891 年，兰彻斯特（F.W.）提出速度环量产生升 力的概念，这为建立升力理论创造了条件，他也是第一个提出有限翼展机翼理论 的人。 3、进入 20 世纪以后，流体力学的理论与实验研究除了在已经开始的各个领 域继续开展以外，在发展航空航天事业方面取得了迅猛的发展。在运动物体的升 力方面，库塔（W.M.）和儒可夫斯基（N.E.）分别在 1902 年和 1906 年独立地提 出特殊的与一般的库塔―儒可夫斯基定理和假定，奠定了二维升力理论的基础。 至于运动物体的阻力问题，至此仍缺乏完善的理论，人们普遍认为：尾涡是物体 阻力的主要来源，遂将注意力转向物体尾流的研究。1912 年，卡门（T.von）从 理论上分析了涡系（即卡门涡街）的稳定性。1904 年普朗特(Prandtl，L.)提出 了划时代的边界层理论，使黏性流体概念和无黏性流体概念协调起来，使流体力 学进入了一个新的历史阶段。 4、20 世纪中叶以后，流体力学的研究内容，有了明显的转变，除了一些较 难较复杂的问题，如紊流、流动稳定性与过渡、涡流动力学和非定常流等继续研10究外，更主要的是转向研究石油、化工、能源、环保等领域的流体力学问题，并 与相关的邻近学科相互渗透，形成许多新分支或交叉学科，如计算流体力学、实 验流体力学、可压缩气体力学、磁流体力学、非牛顿流体力学、生物流体力学、 多相流体力学、物理-化学流体力学、渗流力学和流体机械流体力学等。一般来 说，这些新的分支或交叉学科所研究的现象或问题都比较复杂，要想很好地解决 它们，实际上是对流体力学研究人员的一次大挑战。现有的流体力学运动方程组 不能完全准确地描述这些现象和新问题， 试图用现有的方程组和纯计算的方法去 解决这些问题是相当困难的， 唯一可行的道路是采用纯实验或实验与计算相结合 的方法。近年来在一些分支或交叉学科（如多相流等）中采用这种方法，获得了 较好的效果，大大推动了实验技术的发展。 综上所述，流体力学作为一门独立的学科，开始于伯努利（）和 欧拉 （） 所处的 18 世纪。 伯努利首先采用了流体动力学这个术语 （并 将流体静力学和水力学包括在这门科学之内） ，并且他还发现了以他的名字命名 的著名的伯努利方程。欧拉则创立了理想流体的运动方程，并且发展了有关数学 理论。19 世纪初期和中期，纳维尔（）和斯托克斯（） 分别导出了粘性流体的运动方程式即 N－S 方程，并且，斯托克斯被看作是近代 流体力学理论的奠基人。20 世纪以后，儒可夫斯基（）发展了机翼 外力理论，对机翼设计作出了杰出的贡献。普朗特（）在 1904 年提 出了划时代的边界层理论， 从而使粘性流体和无粘性流体的概念协调起来。 并且， 由于升力理论和边界层理论的建立， 使流体力学脱离了纯理论的研究而开始了与 工程实际相结合。 现代意义下的流体力学形成于上世纪初，它是通过 Prandtl（普朗特）的边 界层理论完成的。但在此以前的不少理想流体研究的成果，至今仍有意义，如水 波的基本理论。Prandtl 的边界层理论还导致了应用数学中有名的渐近匹配法的 形成，并迅速在其它学科中找到了广阔的应用领域。上个世纪在运河河道中发现 的孤立波在上世纪 60 年代得到了彻底的解决，既推动了力学和数学的发展，也 迅速导致在其它学科如光学、声学中发现类似的现象。现在孤立波(光学中称孤 立子)已成了光通信的基石。上世纪 60 年代，为探索为何基于流体力学方程的数 值天气预报只能准确到很少几天，通过简化这组方程之后，得到了现在已十分著11名的 Lorenz 方程。数值计算表明，它的解对初值十分敏感，以致一定时间之后， 其值变得几乎完全不可预测的了。这一发现开辟了混沌研究新领域，奠定了非线 性科学的基础。这一事实还说明，流体力学方程(NS 方程)的内涵十分深邃，对 它的了解还远不是充分的。水波中各种波的非线性作用的研究，也丰富了非线性 科学的内容。凡此种种，显示出了上世纪流体力学在科学发展中的作用。 流体力学在工程技术中的作用，更是有目共睹的。飞机的飞行速度得以超过 声速， 是空气动力学发展的结果。 人类登月的成功， 大型火箭和航天飞机的实现， 需要解决成千上万个前所未有的难题，而力学问题往往首当其冲。为此形成了高 超声速气动力学，物理化学流体力学，稀薄气体力学等一系列新的分支学科，并 极大地推动了计算科学的发展。 为解决喷气机的噪声问题， 提出了流体噪声理论， 它完全不同于经典的声学理论。各种高速、高机动性和高敏捷性的军用飞机和安 全、舒适的大型民航机的研制成功，同样需要流体力学提供的新思想和新成果。 70 年代兴起的海上采油工业，若没有流体力学的研究成果为依据，设计、建造 单台价值超过 10 亿美元的海上采油平台是不可能的。巨型船舶、高性能潜艇及 各种新型船舶的研制中，流体力学问题仍是首先要加以解决的。其它如地下油气 开采也得益于流体力学的指导。大型水利枢纽的设计和建造，离开了水力学是不 可能的。 各种大型建筑物， 如火电站的冷却塔和大跨度桥梁等遭风载破坏的教训， 引起了力学和工程界的密切关注，形成了风工程这门新的学科。大型汽轮机、燃 气轮机及涡喷发动机等现代动力机械的研制，提出了许多新的流体力学问题，形 成了独特的翼栅及内流理论，其中还伴有高温、化学反应、多相等复杂因素。 总而言之，没有流体力学的发展，现代的许多工程技术，特别是高新技术的 发展是不可能的。流体力学在取得巨大进展的同时，也留下了一些仍待解决的问 题。 不尽快地将它们解决， 必然对科学及工程技术的进一步发展带来困难。 同时， 技术的发展是无止境的。仅就交通运输为例，无论是空中、水上水下，还是陆地 上的交通工具都在朝着更大、更快、更安全、更舒适的方向发展，新问题将层出 不穷。 第一个大问题是湍流。经过几代人的努力，对这一问题的认识已大为深化， 这才有上述各项成就。绝大多数情况下，流体运动都处于湍流状态。目前计算这 类问题的办法都带有经验的成分，因此计算结果不十分有把握，各种办法的普适12性和预测能力均差，特别是对于超声速、高超声速流中的湍流，情况尤其如此。 随着高新技术的发展，发现过去的经验局限性太大，因而亟待在湍流的研究上有 所突破。 各种物体如飞机、 船舶等航行器在流体中运动特别是在作非定常运动时， 会产生十分复杂的流场。 其核心问题是各种涡系的生成、 消长和流动分离的产生。 有关机理的许多问题尚未弄清，因为其中包含复杂的非线性因素。这方面的研究 成果将对未来空中及水中航行器的研制产生重大影响。从某种意义上说，将来空 天飞机和新一代的超声速民航机的成功研制将首先取决于流体力学的进展。 在有 关的高温空气动力学中必须放弃原先的热力学平衡的假定。吸气式发动机中 H2， O2 在超声速流动状态下的混合、点火等，都是过去的理论和实践未能解决的难 题。 超声速流边界层的控制、减阻以及降噪控制等也带来一系列新问题。船舶除 了向更大、更快的方向发展外，还提出了许多新型船舶，包括贴近水面航行、必 要时可升空飞行或降在水面上的大型冲翼艇。 这时计算各种航态和海况下的波载 荷，将遇到极大的困难。由于波载计算不准而导致在恶劣海况下失事，即使对现 代的常规船舶也仍是屡见不鲜的。 上世纪 80 年代末至今已有近 20 艘船在北海失 事。从流体力学的角度看，冲翼艇的困难主要在于有事先未定的自由表面，表面 边界条件的非线性，波浪的随机性，水表层为湍流，以及流体与船舶运动相耦合 等。风浪相互作用机制，至今尚未弄清，而它是天气预报这类全球性问题的重要 环节， 也是近年来正在探索的通过遥测水面波参数以测量近水面风速这一新技术 的基础，这个问题的突破将大大改进收集全球气象数据的广度和精度。海面波浪 参数的遥测数据还有可能用以探测潜航的潜艇及海流， 但这要开辟传统波浪理论 未涉及的有旋流对波浪的影响这一新的领域。为了尽可能多地开采地下油气，需 要深入研究渗流机理并将其定量化。 渗流的研究还有助于了解植物体内液体的运动规律， 进而了解各种新陈代谢 的宏观机制。 化工流程的设计， 在相当大的程度上可归结为流体运动的计算问题， 包括多相流及非牛顿流。由于流动的复杂性，不少重要化工装置的设计带有很多 经验因素，以致不能发挥最大效益。因而针对若干典型化工装置进行深入研究， 将为化工设计提供新方法，实现可观的经济效益。 在未来生物技术产业化的过程中，会遇到类似或更复杂的情况，因而这方面13的研究是真正形成生物技术工业不可缺少的基础。由于复杂流场计算的需要，各 种计算方法和理论还需大大发展，以期能精确捕捉激波和分辨旋涡运动、能够处 理非线性自由表面及湍流问题等。由于计算量特别巨大，必须发展新的计算机硬 件和软件，特别是并行机及其软件，并行计算软件的发展，也必须结合具体计算 对象来研制。因而计算流体力学的发展，既是解决具体问题所需，也将对计算科 学作出重要贡献。 2.3 力学与其它学科的交叉 力学中的交叉学科由三部分组成， 第一部分由力学学科内部不同分支学科所 组成，第二部分由力学与其他学科交叉组成。前者如流体弹性力学，后者如物理 力学，物理、化学流体力学等。第三部分则兼有前两者的特点，如爆炸力学、物 理化学渗流、材料力学性质、生物力学等。交叉(分支)学科，并非两个学科或分 支学科的简单加合，它基于其源学科但又有区别，因为其研究对象自身包含两学 科的复杂组合。交叉学科有利于发展新学科并促使源学科的发展。 上世纪力学与其它学科交叉对推动科学和工业的发展起了巨大的作用。 突出 的例子有力学与各项工程学科交叉产生的工程力学， 与地学相结合的地球流体力 学，与天文相结合的星系的螺旋结构理论。20 世纪中叶以来与生命科学和医学 相结合的生物力学建立了起来。同一时期被提出的物理力学也被广泛接受。力学 家突破传统声学，建立了流体动力声学理论，没有它就无法理解和克服诸如喷气 噪声等问题。这种交叉不仅不会结束，而且其广度和深度还一定会不断增加。 展望 21 世纪，流体力学与其他学科的交叉必将进一步扩大与加强。这里只 强调几个将在 21 世纪有重要发展或重大影响的交叉领域，它们是，流体力学与 生命科学的交叉，流体力学与地学的交叉，以及物理力学。流体力学与地学的结 合，正如与天文学一样，从力学角度讨论地球流体力学中的问题有很长的历史。 20 世纪，气象预报从经验的发展到数字的，其精确性有很大的提高。这些成就 是建立在将流体力学应用于大气运动的深入研究的基础上的， 是两个学科中的科 学工作者分别与其共同努力的结果。将流体力学应用于海洋，也产生了类似的效 果。因而 20 世纪中叶以来出现了至今仍十分活跃的地球流体力学(GFD)这个新 的分支学科。20 世纪，出于工程建设的需要，力学界形成了土力学、岩体力学、 渗流力学(水、石油)，抗震工程力学等新的学科分支，使人们对工程尺度内的地14质现象(如地基的稳定性、边坡的稳定性、泥石流、雪崩等)有了一些基本的研究 手段。地学方面，在工程地质、地震学、大地测量、地层构造方面也都有突出的 进展。特别引人注意的是板块运动的学说以及它的一系列推论。双方面的这些进 展，孕育着使地学走向精确化定量化的巨大机遇，而力学与地学相结合将使人们 迅速抓住这个机遇。为此我们认为 21 世纪在以下几个流体力学密切相关的领域 可能取得重要进展： (1)地球动力学，中心问题有:板块运动的驱动力来源；地幔对流的流体力学 理论；地震机制。 (2)大气与下垫面(有植被、无植被、地面、海洋、冰雪等)的相互作用及传热、 传质过程，可以统称为大气的边界层理论。 (3)环境与灾害力学，包括污染物在水体、土体、岩体中的扩散与富集，各 种气象灾害(如台风、风暴潮)，地质灾害(如滑坡、塌方、地面沉降、泥石流、沙 漠入侵、瓦斯突出)，地震发生的机制、监测、预报的研究，地震对各类建筑物 的破坏与抗震研究，以及其它自然和工业灾害（如各种火灾）等。 (4)渗流力学问题，特别是裂隙介质中的多相渗流规律的研究。有必要深入 到细观和微观层次，考虑表面化学因素。这样做有可能提出新的二次和三次采油 新技术。 力学与生命科学的交叉。人们关心生命，特别是人体生命活动的规律是很自 然的事。 从力学角度研究生命现象因而也有很早的历史， 一直可以追溯到伽里略， 牛顿和哈维。20 世纪 30 年代 A. Hill 更曾因骨骼肌收缩原理的研究获诺贝尔奖。 但作为一个独立的分支学科的生物力学，却兴起于上世纪 60 年代中期。与之相 适应，近来生物医学工程得到迅速的建立与发展。生物力学的原理还被用于设计 生物反应器，以规模生产有生物活性的物质。 20 世纪 60 年代中期至 70 年代是生物力学开创和奠基阶段，其特点是将力 学方法和生理学、解剖学等方法相结合，研究组织和器官层次上的生命现象。80 年代至 90 年代初，生物力学进入细胞范围也从医学、生物医学工程，扩展到生 化工程，生物技术，细胞生物学等新的领域。近 10 多年来，生物力学界提出组 织工程(Tissue Engineering)，受到多方面的重视，被认为有很好的发展前景。生 物力学本世纪主要涉及以下几个方面：15(1)生物流变学(包括软组织的力学性质、血液流变学、肌肉力学等)； (2)生理流动的力学规律(包括脏器血循环规律、动脉粥样硬化与流动状态的 关系、呼吸系统动力学、微循环力学等)； (3)器官力学(心脏、肺、关节与关节液和软骨等)； (4)细胞力学； (5)人体和其它生物的运动学。 综上所述，随着科学和技术的发展，流体力学已经深入到各个科技领域与生 产部门。目前，已经很难找出一个技术部门与流体力学没有或多或少的联系。例 如，航空与航海，飞机与轮船的外形设计、操纵性、稳定性、都向流体力学提出 了广泛的课题，近代发展的宇宙飞行器脱离和重返大气层等，都离不开流体动力 学及空气动力学的基本原理。 其次，水利工程的建设，河流的治理及利用，水库、大型水利枢纽的设计与 建造，洪峰预报，环境污染预报，河流泥沙的预测（例如黄河的泥沙）都与流体 力学紧密相联。再其次，如气象科学中的天气预报也绝对离不开流体力学，天文 学中，有研究组成星云的气状物质运动的宇宙流体力学。下面我们看看两个与流 体力学有关的具体问题。 （1）机翼升力来自机翼下部还是上部？ ）机翼升力来自机翼下部还是上部？人们的直观印象是空气从下面冲击着鸟的翅膀，把鸟托在空中。19 世纪初 建立的流体力学环量理论，彻底改变了人们的传统观念。 脱体涡量与机翼环量大小相等方向相反。 足球的香蕉球现象可帮助理解环量理论。旋转的球带动空气形成环流，一侧 气体加速，另一侧减速，形成压差力，使足球拐弯，称为马格努斯效应。 所谓马格努斯效应，是一个流体力学当中的现象，是一个在流体中转动的物16体(如圆柱体）受到的力。当一个旋转物体的旋转角速度矢量与物体飞行速度矢 量不重合时， 在与旋转角速度矢量和平动速度矢量组成的平面相垂直的方向上将 产生一个横向力。 在这个横向力的作用下物体飞行轨迹发生偏转的现象称作马格 努斯效应。 上面所说的环量理论，就机翼的升力是如何产生的问题而言，实际上就是要 说明所谓机翼环量即机翼的速度环量。它是表征机翼所在流场涡旋强度的量，速 度环量同物体在流体中运动时所受的举力有密切的联系。 具体地， 对于一个翼型， 在与空气的相对运动中，因为机翼周围的气体产生速度差进而由压差是产生升 力。因此，我们知道，在翼型中，下翼面静压大于上翼面，故气流有向上运动的 趋势。在机翼翼梢处，就会有部分气流在压力作用下没有向后流动，而是在中途 向上流向上翼面，形成所谓的脱体涡。 机翼的特殊形状使它不用旋转就能产生环量，上部流速加快形成吸力，下部 流速减慢形成压力，两者合成形成升力。 测量和计算表明，上部吸力的贡献远比下部要大。（2）汽车阻力来自前部还是后部？ ）汽车阻力来自前部还是后部？ 汽车发明于 19 世纪末，当时人们认为汽车的阻力主要来自前部对空气的撞 击，因此早期的汽车后部是陡峭的，称为箱型车，阻力系数（CD）很大，约为 0.8。 实际上汽车阻力主要来自后部形成的尾流，称为形状阻力。 后部形成的尾流，称为形状阻力 后部形成的尾流 20 世纪 30 年代起，人们开始运用流体力学原理改进汽车尾部形状，出现甲 壳虫型，阻力系数降至 0.6。 20 世纪 50－60 年代改进为船型，阻力系数为 0.45。1780 年代经过风洞实验系统研究后，又改进为鱼型，阻力系数为 0.3，以后进一步改进为楔型，阻力系数为 0.2。 90 年代后，科研人员研制开发的未来型汽车，阻力系数仅为 0.137。经过近 80 年的研究改进，汽车阻力系数从 0.8 降至 0.137，阻力减小为原来 的 1/5 。 目前，在汽车外形设计中流体力学性能研究已占主导地位，合理的外形使汽 车具有更好的动力学性能和更低的耗油率。3 连续介质力学简介连续介质力学是研究质量连续分布的可变形物体的运动规律， 主要讨论一切18连续介质普遍遵从的力学规律。例如，质量守恒、动量和角动量定理、能量守恒 等。弹性体力学和流体力学有时统称为连续介质力学。 (1) 连续介质力学 连续介质力学是研究连续介质宏观力学性状的分支学科。 宏观力学性状是指 在三维欧氏空间和均匀流逝时间下受牛顿力学支配的物质性状。 连续介质力学对 物质的结构不作任何假设。它与物质结构理论并不矛盾，而是相辅相成的。物质 结构理论研究特殊结构的物质性状， 而连续介质力学则研究具有不同结构的许多 物质的共同性状。 连续介质力学的主要目的在于建立各种物质的力学模型和把各 种物质的本构关系用数学形式确定下来， 并在给定的初始条件和边界条件下求出 问题的解答。它通常包括下述基本内容：①变形几何学，研究连续介质变形的几 何性质， 确定变形所引起物体各部分空间位置和方向的变化以及各邻近点相互距 离的变化，这里包括诸如运动，构形、变形梯度、应变张量、变形的基本定理、 极分解定理等重要概念。②运动学，主要研究连续介质力学中各种量的时间率， 这里包括诸如速度梯度，变形速率和旋转速率，里夫林－埃里克森张量等重要概 念。③基本方程，根据适用于所有物质的守恒定律建立的方程，例如，热力连续 介质力学中包括连续性方程、运动方程、能量方程、熵不等式等。④本构关系。 ⑤特殊理论，例如弹性理论、粘性流体理论、塑性理论、粘弹性理论、热弹性固 体理论、热粘性流体理论等。⑥问题的求解。根据发展过程和研究内容，客观上 连续介质力学已分为古典连续介质力学和近代连续介质力学。 (2) 连续介质力学基本假设 连续介质力学连续介质力学的最基本假设是“连续介质假设” ：即认为真实 的流体和固体可以近似看作连续的，充满全空间的介质组成，物质的宏观性质依 然受牛顿力学的支配。这一假设忽略物质的具体微观结构（对固体和液体微观结 构研究属于凝聚态物理学的范畴） ，而用一组偏微分方程来表达宏观物理量（如 质量，数度，压力等） 。这些方程包括描述介质性质的方程（constitutive equations）和基本的物理定律，如质量守恒定律，动量守恒定律等。 (3)连续介质力学研究对象 (3)连续介质力学研究对象 固体：固体不受外力时，具有确定的形状。固体包括不可变形的刚体和可变 形固体。刚体在一般力学中的刚体力学研究；连续介质力学中的固体力学则研究19可变形固体在应力，应变等外界因素作用下的变化规律，主要包括弹性和塑性问 题。 弹性：应力作用后，可恢复到原来的形状。 塑性：应力作用后，不能恢复 到原来的形状，发生永久形变。 流体：流体包括液体和气体，无确定形状，可 流动。流体最重要的性质是粘性（viscosity，流体对由剪切里引起的形变的抵 抗力，无粘性的理想气体，不属于流体力学的研究范围） 。从理论研究的角度， 流体常被分为牛顿流体和非牛顿流体。 牛顿流体：满足牛顿粘性定律的流体， 比如水和空气。 非牛顿流体：不满足牛顿粘性定律的流体，介乎于固体和牛顿 流体之间的物质形态。 (4)古典连续介质力学 (4)古典连续介质力学 连续介质力学侧重于研究两种典型的理想物质， 即线性弹性物质和线性粘性 物质。弹性物质是指应力只由应变来决定的物质。当变形微小时，应力可以表示 为应变张量的线性函数，这种物质称为线性弹性固体。本构方程中的系数称为弹 性常数。 对各向异性弹性固体最多可有 21 个弹性常数,而各向同性弹性固体则只 有 2 个。粘性物质是指应力与变形速率有关的物质。对流体来说，如果这个关系 是线性的，就称为线性粘性流体或称牛顿流体。对线性粘性流体只有 2 个粘性 系数。这两种典型物质能很好地表示出工程技术上所处理的大部分物质的特性， 所以，古典连续介质理论至今仍被广泛应用并将继续发挥它解决实际问题的能 力。 (5)近代连续介质力学 (5)近代连续介质力学 连续介质力学是 19 45 年以后逐渐发展起来的。它在下列几个方面对古典连 续介质力学作了推广和扩充：①物体不必只看作是点的集合体；它可能是由具有 微结构的物质点组成。②运动不必总是光滑的；激波以及其他间断性、扩散等， 都是容许的。③物体不必只承受力的作用；它也可以承受体力偶、力偶应力以及 电磁场所引起的效应等。④对本构关系进行更加概括的研究。⑤重点研究非线性 问题。研究非线性连续介质问题的理论称为非线性连续介质力学。 近年来，近 代连续介质力学在深度和广度方面都已取得很大的进展， 并出现下列三个发展方 向：①按照理论力学的观点和方法研究连续介质理论，从而发展成为理论连续介 质力学。②把近代连续介质力学和电子计算机结合起来，从而发展成为计算连续 介质力学。 ③把近代连续介质力学的研究对象扩大， 从而发展成为连续统物理学。20(6)连续介质力学主要分支学科 (6)连续介质力学主要分支学科 基本分支学科： 固体力学、弹性力学、塑性力学、断裂力学、流体力学、 等应用分支学科和结构力学、材料力学、爆炸力学、空气动力学、等离子体动力 学、磁流体动力学等交叉学科。4 流体力学的研究方法流体力学D研究流体的运动和平衡规律以及流体与固体之间相互作用的一 门科学。换句话说，流体力学的主要任务是研究流体与物体之间的相互作用以及 流体在静止或运动时所遵循的基本规律。 流体力学的研究方法分为三个方面。 4.1 理论分析方法 理论流体力学 理论分析方法―理论流体力学 理论分析的一般过程是：建立力学模型，用物理学基本定律推导流体力学数 学物理方程，用数学方法求解方程，检验和解释求解结果。目前流体力学理论研究的主攻方向是：湍流、流动稳定性、涡运动、水动力 学、水波动力学、复杂流动、多相流动等。 理论分析结果能揭示流动的内在规律，具有普遍适用性，但分析范围有限。湍斑 4.2 实验方法 实验流体力学 实验方法―实验流体力学泰勒涡机翼涡系实验研究的一般过程是：在相似理论的指导下建立模拟实验系统，用流体测21量技术测量流动参数，处理和分析实验数据。风洞实验（同济大学） 典型的流体力学实验有：风洞实验、水洞实验、水池实验等。水洞实验（上海交通大学）水池实验（上海交通大学）测量技术有：热线、激光测速；粒子图像、迹线测速；高速摄影；全息照相； 压力、密度测量等。 现代测量技术在计算机、光学和图像技术配合下，在提高空间分辨率和实时 测量方面已取得长足进步。 实验结果能反映工程中的实际流动规律，发现新现象，检验理论结果等，但 结果的普适性较差。 4.3 数值模拟方法 计算流体力学 数值模拟方法-计算流体力学 模拟方法 数值研究的一般过程是：对流体力学数学方程作简化和数值离散化，编制程 序作数值计算，将计算结果与实验结果比较。22常用的方法有：有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法、谱分析法 等。 计算的内容包括：飞机、汽车、河道、桥梁、涡轮机等流场计算；湍流、流 动稳定性、非线性流动等数值模拟。大型工程计算软件已成为研究工程流动问题 的有力武器。计算实例：长江口枯季床面剪应力（上海交通大学）压强分布速度分布日本名古屋矢田川桥抗风性能数值模拟（同济大学） 数值方法的优点是能计算理论分析方法无法求解的数学方程，比实验方法 省时省钱，但毕竟是一种近似解方法，适用范围受数学模型的正确性和计算机的 性能所限制。 三种方法各有优缺点，应取长补短，互为补充。 流体力学不仅有深厚的理论基础，而且实践性很强。学习流体力学应注意 理论与实践结合，理论分析、实验研究和数值计算并重。23
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